Toán quốc tế Kangaroo (IKMC) là một kỳ thi uy tín trên thế giới với số lượng thí sinh đến từ hàng chục quốc gia, trong đó có cả Việt Nam. Kỳ thi này ra đời nhằm nhân rộng niềm vui học Toán theo hướng phát triển tư duy thông qua hình thức trắc nghiệm và nội dung gắn liền với thực tế đời sống.

Để giải được các bài toán trong kỳ thi, thí sinh cần có kiến thức Toán học vững vàng, khả năng tư duy logic linh hoạt, cùng kỹ năng quan sát, liên tưởng. Dưới đây là 1 bài toán khó dành cho học sinh khối lớp 7 trong kỳ thi Kangaroo năm 2015. Bài toán đưa ra tình huống gọi điện thoại nhưng quên số và yêu cầu thí sinh đoán ra chính xác số điện thoại nhờ những dữ liệu được đưa ra. Nội dung cụ thể như sau:

Đề bài:

Trong sổ liên lạc của tôi có ghi số điện thoại Ekin là một số có sáu chữ số. Nhưng đáng lẽ nó phải là số có bảy chữ số như tất cả số điện thoại khác ở vùng cậu ấy.

Tôi không biết đã quên viết chữ số nào và ở đâu. Hỏi tôi phải gọi thử bao nhiêu số điện thoại để chắc chắn tìm được số điện thoại của Ekin? (Số điện thoại ở vùng của Ekin có thể bắt đầu bằng bất kỳ chữ số nào, bao gồm số 0). 

Có 4 đáp án được đưa ra: (A)55; (B)60; (C)64 ; (D)70 ; (E)80. 

Cách giải:

Chữ số bị viết thiếu sẽ có 7 cách chọn vị trí để điền vào dãy 6 chữ số sẵn có. Trong đó có một vị trí ngoài cùng bên trái; 5 vị trí giữa 2 chữ số trong dãy 6 số và 1 vị trí ngoài cùng bên phải.

Cụ thể như sau: A123456, 1A23456, 12A3456, 123A456, 1234A56, 12345A6 và 123456A.

Mỗi vị trí đều có 10 cách điền các chữ số 0; 1; 2….; 8; 9. Vậy nên sẽ có 7x10=70 số có 7 chữ số.

Tuy nhiên, khi điền chữ số còn thiếu (a) vào bên trái hay bên phải của mỗi chữ số đã ghi (m) trong sổ liên lạc, luôn có hai trạng thái điền số như nhau nếu a=m. Do có 6 chữ số đã ghi nên trong 70 số tạo ra sẽ có 6 số bị trùng lặp và như thế chỉ tạo ra 70 - 6 = 64 số điện thoại có 7 chữ số.

Đến đây ta có đáp án là 64 như đề bài đã đưa ra.

Một hướng giải khác được nhiều người đồng tình

Nội dung câu hỏi của đề bài là: “Hỏi tôi phải gọi thử bao nhiêu số điện thoại để chắc chắn tìm được số điện thoại của Ekin?”. Nếu dựa theo cách tính toán thông thường và cả đáp án đề bài đưa ra thì 64 là đáp án chính xác.

Tuy nhiên, mục đích của câu hỏi là xác định chắc chắn số điện thoại đúng của Ekin chứ không phải là để nói chuyện đúng với Ekin thì chỉ cần tối đa 63 lần thử gọi điện thoại. Nếu sau 63 lần gọi thử điện thoại theo 63 số có 7 chữ số được xác lập mà không đúng thì số còn lại chính là số điện thoại của Ekin.

Vậy nên theo nhiều người, đáp án đúng nhất là 63. Đáp án này tuy khác với đáp án của Ban tổ chức đưa ra nhưng nhận được nhiều sự đồng tình.