APMOPS (Asia Pacific Mathematical Olympiad for Primary Schools) là kỳ thi Olympic Toán học châu Á – Thái Bình Dương được tổ chức nhằm tạo điều kiện cho những thiên tài toán học có cơ hội giao lưu và tranh tài với bạn bè cùng lứa tuổi. Thí sinh tham dự đến từ nhiều quốc gia trong khu vực châu Á – Thái Bình Dương như: Úc, Brunei, Trung Quốc, Hồng Kông, Ấn Độ, Indonesia, Việt Nam, Malaysia, New Zealand, Singapore, Hàn Quốc, Đài Loan, Philippines. Độ tuổi của thí sinh là dưới 13.
Kỳ thi APMOPS bao gồm 2 vòng thi. Vòng 1 được tổ chức tại các quốc gia, trong đó có cả Việt Nam. Những thí sinh đạt kết quả cao nhất tại vòng 1 của khu vực châu Á – Thái Bình Dương sẽ được Học viện Hwa Chong mời tham dự vòng chung kết kỳ thi APMOPS tại Singapore.
Dưới đây là một bài toán từng được đưa ra trong kỳ thi APMOPS, nội dung đề đọc qua thì đơn giản nhưng rất nhiều người lớn phải lắc đầu chịu thua vì quá khó. Đề cụ thể như sau:
Problem: There are 25 rows of seats in a hall, each row having 30 seats. If there are 680 people seated in the hall, at least how many rows have an equal number of people each?
Dịch đề: Một hội trường có 25 hàng ghế, mỗi hàng có 30 chiếc. Nếu có 680 người ngồi trong hội trường thì có ít nhất bao nhiêu hàng ghế có cùng số người ngồi?
Ít nhất bao nhiêu hàng ghế có cùng số người ngồi? - Ảnh minh họa.
Lời giải: Có 680 người ngồi trên 25 x 30 = 750 ghế nên hội trường còn 70 chiếc ghế trống. Để ý rằng nếu hai hàng ghế bất kỳ có số người ngồi bằng nhau thì số ghế trống cũng bằng nhau. Ta sẽ chứng minh có ít nhất 4 hàng ghế có cùng số ghế trống.
Thật vậy, giả sử ngược lại, số các hàng có số ghế trống bằng nhau luôn nhỏ hơn 4.
Khi đó tổng số các ghế trống của 25 hàng không bé hơn:
3 x (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + 8 = 92 > 70 (vô lý).
Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra một cách sắp xếp 680 người vào 25 hàng ghế sao cho có ít nhất 4 hàng ghế có cùng số ghế trống (tức là có cùng số người ngồi).
Cách đơn giản nhất là xuất phát từ đẳng thức 4 x (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 10 = 70, suy ra có thể xếp 680 người ngồi sao cho có 24 hàng ghế chia thành 6 nhóm, mỗi nhóm có 4 hàng ghế lần lượt có số ghế trống là 0, 1, 2, 3, 4, 5 và hàng ghế thứ 25 có 10 ghế trống. Vậy có ít nhất 4 hàng ghế có cùng số người ngồi.
Đáp số là 4.
